如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=45|PD|（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率45的直

Question

如图，设P是圆x ² +y ² =25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|= (4)/(5) |PD|
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率 (4)/(5) 的直线被C所截线段的长度．

Answer 1

（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x _p ，y _p ）
由已知得：

x p =x

y p =(5)/(4) y

∵P在圆上，
∴ x 2 +((5)/(4) y ) 2 =25 ，即C的方程为 (x2)/(25) +(y2)/(16) =1 ．
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 (4)/(5) 的直线方程为： y=(4)/(5) (x-3) ，
设直线与C的交点为A（x ₁ ，y ₁ ）B（x ₂ ，y ₂ ），
将直线方程 y=(4)/(5) (x-3)代入C的方程，得 (x2)/(25) +((x-3)2)/(25) =1 即： x 2 -3x-8=0∴ x 1 =(3-41)/(2) ， x 2 =(3+41)/(2) ，
∴线段AB的长度为|AB|=

( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2

=

(1+(16)/(25) ) ( x 1 - x 2 ) 2

=

(41•41)/(25)

= (41)/(5) ．