求解一道数学题一个正四棱锥（底面为正方形,顶点在底面的射影为底面中心的四棱锥）和一个正方体,它们有半径相同的内切球,记正四棱锥的体积为V1,正方体的体积为V2,且V1=kV2,则实数k的最

Question

求解一道数学题
一个正四棱锥（底面为正方形,顶点在底面的射影为底面中心的四棱锥）和一个正方体,它们有半径相同的内切球,记正四棱锥的体积为V1,正方体的体积为V2,且V1=kV2,则实数k的最小值为
答案是4/3

Answer 1

正方体的内切球直径等于边长2r,正方体的体积是8r^3
正四棱锥由两个参数决定其形状,底面边长a和高h
关键是要知道底面边长和高与内切圆的半径的关系.从底面中心平行于边且过顶点取一个切面,这个切面是一个等腰三角形,底边长为a,高为h,且有半径为r的内切圆.
用a和h表示r,表达式太复杂了,引入一个新的变量底角c,则h=a tanc/2,r=a tan(c/2)/2
则四棱锥体积=a^2 h/3=a^3 tan(c) /6=8r^3 tan(c）/[6tan^3(c/2)]
两者比较得k=tan(c)/[6tan^3(c/2)]
tan(c)=2tan(c/2)/(1-tan^2(c/2))
代入化简得k=1/[3(1-tan^2(c/2))tan^2(c/2)],（1-tan^2(c/2)）tan^2(c/2)