（2014•浙江二模）正四面体ABCD，线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，则线段AB与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（）A．[0，22]B．[22，1

Question

（2014•浙江二模）正四面体ABCD，线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，则线段AB与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（　　）

A．[0，(√(2))/(2)]
B．[(√(2))/(2)，1]
C．[(1)/(2)，1]
D．[(1)/(2)，(√(2))/(2)]

Answer 1

如图，取AC中点为G，
∵E，F分别是线段AD和BC的中点，∴GF∥AB，
∴线段AB、EF在平面α上的射影所成角等于GF与EF在平面α上的射影所成角，
在正四面体中，AB⊥CD，又GE∥CD，
∴GE⊥GF，∴EF²=GE²+GF²，
当四面体绕AB转动时，∵GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，
∴当CD与平面α垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，
此时EF在平面α上的射影E₁F₁的长取得最小值(1)/(2)，
当CD与平面α平行时，GE在平面上的射影长最长为(1)/(2)，E₁F₁取得最大值(√(2))/(2)，
∴射影E₁F₁长的取值范围是[(1)/(2)，(√(2))/(2)]，
而GF在平面α上的射影长为定值(1)/(2)，
∴AB与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[(√(2))/(2)，1]．
故选：B．