过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A（2，1）作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点．（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；（2）若k1+k2=k1k2，证明：直线BC恒过定

Question

过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A（2，1）作斜率分别为k₁、k₂的直线，分别交抛物线E于B、C两点．
（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）若k₁+k₂=k₁k₂，证明：直线BC恒过定点．

Answer 1

（1） 设抛物线的方程为x²=ay，则
代入A（2，1），可得a=4，
∴抛物线E的标准方程为x²=4y，准线方程为y=-1；
（2）证明：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则直线AB方程y=k₁（x-2）+1，
AC方程y=k₂（x-2）+1，
联立直线AB方程与抛物线方程，消去y，得x²-4k₁x+8k₁-4=0，
∴x₁=4k₁-2①
同理x₂=4k₂-2②
而BC直线方程为y-(1)/(4)x₁²=(x2+x1)/(4)（x-x₁），③
∵k₁+k₂=k₁k₂，
∴由①②③，整理得k₁k₂（x-2）-x-y-1=0．
由x-2=0且-x-y-1=0，得x=2，y=-3，故直线BC经过定点（2，-3）．