过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l

Question

过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为

Answer 1

设直线的方程是：y-1=k(x-2) (k<0) 即：y=kx+1-2k 当x=0时，y=1-2k 当y=0时，x=(2k-1)/k 则A,B的坐标分别为：A（(2k-1)/k，0），B（0，1-2k） S△AOB=|OA|·|OB|·1/2 =(2k-1)/k·(1-2k)·1/2 =(1/2)(4k²-4k+1)/(-k) =(1/2)(-4k-1/k+4) ∵k<0 ∴-4k>0 -1/k>0 则S△AOB≥(1/2)[2√(-4k)(-1/k)+4] =(1/2)×(2×2+4) =4 当且仅当-4k=-1/k 即k=-1/2时，等号成立 ∴当k=-1/2时，三角形AOB的面积最小 此时直线的方程为：y=(-1/2)x+2