如图甲为倾角θ=30°的绝缘光滑匀质直角斜面体，其直角棱固定在水平地面上的光滑转动轴上，斜面长l=2m．斜面体顶端固定一个半径r=3m的轻质绝缘光滑圆弧轨道，圆弧轨道和斜面体底边中点

Question

如图甲为倾角θ=30°的绝缘光滑匀质直角斜面体，其直角棱固定在水平地面上的光滑转动轴上，斜面长l=2m．斜面体顶端固定一个半径r=√(3)m的轻质绝缘光滑圆弧轨道，圆弧轨道和斜面体底边中点在同一竖直平面内，斜面体与圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道顶端的切线方向恰好竖直．其正视图如图乙所示．圆弧轨道所在的空间区域有竖直向上的匀强电场，场强大小E=1.0×10³V/m，圆弧轨道上方和下方均无电场．一个带电量q=+1.0×10^-3C、质量m=0.1kg的小球（可视为质点）从斜面体底边中点处以初速度v₀=√(22)m/s垂直底边沿斜面向上滑动，斜面体始终处于静止状态，不计空气阻力，g=10m/s²．试求：

（1）小滑块能够上升到距离地面的最大高度；
（2）为使斜面体始终处于静止状态，斜面体的质量至少是多大？

Answer 1

（1）由已知条件可得 qE=mg=1.0N，所以小滑块在圆弧轨道上运动时做匀速圆周运动．                           
由几何关系可知，圆弧轨道对应的圆心角为60°，设小滑块能够上升到距离地面的最大高度为h．由动能定理得(1)/(2)m

v

2 0

=mg(h-rsin60o)
解得h=2.6m （h>1m，答案合理）           
（2）为使斜面体始终处于静止状态，设斜面体的质量至少是M．滑块在斜面上滑动时对斜面体的压力为mgcosθ，且到达斜面顶端时力臂最大，所以要使滑块在斜面上滑动时保持斜面体静止，必须满足Mg•(1)/(3)lcosθ=mgcosθ•lsin2θ
解得M=0.075Kg                                    
由qE=mg知，小滑块在圆弧轨道上做匀速圆周运动，所需的向心力等于轨道对滑块的压力．由牛顿第三定律知，滑块对轨道的压力等于向心力，且滑块在轨道顶端时对斜面体的力矩最大，所以要使滑块在圆弧轨道上做匀速圆周运动时保持斜面体静止，斜面体的质量至少满足其重力力矩等于此时滑块对轨道的压力力矩．设滑块做匀速圆周运动的速度为v，根据力矩平衡条件有Mg(1)/(3)lsin60o=(mv2)/(r)(lsin30o+rsin60o)
滑块从斜面底端滑到斜面顶端过程中，由机械能守恒定律有(1)/(2)m

v

2 0

=mglsin30o+(1)/(2)mv2
解得 M=0.05Kg．
综上所述，M=0.075Kg                              
答：（1）小滑块能够上升到距离地面的最大高度2.6m；
（2）为使斜面体始终处于静止状态，斜面体的质量至少是0.075kg