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如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.(1)求证:CG是⊙O的切线.(2)求证:AF=CF.(3)若∠EAB=30°,CF=2,求G
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如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连结OC,如图,
∵C是劣弧AE的中点,
∴OC⊥AE,
∵CG∥AE,
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:连结AC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠BCD=90°,
而CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠2,
∵C是劣弧AE的中点,
∴
=
,
∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,
∴AF=CF;
(3)在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,
∴DF=
AF=1,
∴AD=
DF=
,
∵AF∥CG,
∴DA:AG=DF:CF,即
:AG=1:2,
∴AG=2
.
∵C是劣弧AE的中点,
∴OC⊥AE,
∵CG∥AE,
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:连结AC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠BCD=90°,
而CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠2,
∵C是劣弧AE的中点,
∴
AC |
CE |
∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,
∴AF=CF;
(3)在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,
∴DF=
1 |
2 |
∴AD=
3 |
3 |
∵AF∥CG,
∴DA:AG=DF:CF,即
3 |
∴AG=2
3 |
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