如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO．（1）求证PO⊥AC；（2）求异面直线PA与OE所成角的大小．

Question

如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO．

（1）求证PO⊥AC；
（2）求异面直线PA与OE所成角的大小．

Answer 1

（1）证明：∵PO是圆锥的高，
∴PO⊥底面圆O，
又AC∈底面圆O，
∴PO⊥AC．
（2） ∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°=∠BOC，
∴∠BAC=45°，
又∵E为劣弧CB的中点，
∴∠BOE=45°=∠BAC，∴OE∥AC，
∴异面直线PA与OE所成角即为∠PAC，
∵AB=2PO，又直径AB=2AO，∴PO=AO，
∵PO⊥底面圆O，∴PO⊥OC，即∠POC=90°=∠AOC，
∴△AOC≌△POC，∴AC=PC，
又∵圆锥母线PA=PC，∴△PAC为正三角形，
∴∠PAC=60°，
∴异面直线PA与OE所成角的大小为60°．