如图，O1和O2是外切于点P的两个等圆，点A、B分别在O1、O2上，∠APB=90°，和O1、O2的另一个交点分别是C、D．求证：CD=O1O2．

Question

如图， O₁和 O₂是外切于点P的两个等圆，点A、B分别在 O₁、 O₂上，∠APB=90°，和 O₁、 O₂的另一个交点分别是C、D．求证：CD=O₁O₂．

Answer 1

证明：连接O₁O₂，AO₁，BO₂，作O₁M⊥AD于M，O₂N⊥AD于N．
∵ O₁和 O₂外切于点P，
∴接O₁O₂经过点P，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠APO₁+∠BPO₂=90°，
∵O₁A=O₁P，O₂P=O₂B，
∴∠O₁AP=∠O₁PA，∠O₂PB=∠O₂BP，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AP+∠PAB+∠PBA+∠O₂BP=180°，
∴AO₁∥BO₂，∵AO₁=BO₂，
∴四边形ABO₂O₁是平行四边形，
∴AB=O₁O₂=2r．O₁O₂∥AB，
∵O₁M∥O₂N，
∴四边形MNO₂O₁是平行四边形，
∴O₁M=O₂N，∵O₁M⊥AD，O₂N⊥AD，
∴AC=BD（弦心距相等弦相等），
∴AB=CD，
∴CD=2r．