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如图,O1和O2是外切于点P的两个等圆,点A、B分别在O1、O2上,∠APB=90°,和O1、O2的另一个交点分别是C、D.求证:CD=O1O2.
题目详情
如图, O1和 O2是外切于点P的两个等圆,点A、B分别在 O1、 O2上,∠APB=90°,和 O1、 O2的另一个交点分别是C、D.求证:CD=O1O2.
▼优质解答
答案和解析
证明:连接O1O2,AO1,BO2,作O1M⊥AD于M,O2N⊥AD于N.
∵ O1和 O2外切于点P,
∴接O1O2经过点P,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∴∠PAB+∠PBA=90°,∠APO1+∠BPO2=90°,
∵O1A=O1P,O2P=O2B,
∴∠O1AP=∠O1PA,∠O2PB=∠O2BP,
∴∠O1AB+∠O2BA=∠O1AP+∠PAB+∠PBA+∠O2BP=180°,
∴AO1∥BO2,∵AO1=BO2,
∴四边形ABO2O1是平行四边形,
∴AB=O1O2=2r.O1O2∥AB,
∵O1M∥O2N,
∴四边形MNO2O1是平行四边形,
∴O1M=O2N,∵O1M⊥AD,O2N⊥AD,
∴AC=BD(弦心距相等弦相等),
∴AB=CD,
∴CD=2r.
∵ O1和 O2外切于点P,
∴接O1O2经过点P,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∴∠PAB+∠PBA=90°,∠APO1+∠BPO2=90°,
∵O1A=O1P,O2P=O2B,
∴∠O1AP=∠O1PA,∠O2PB=∠O2BP,
∴∠O1AB+∠O2BA=∠O1AP+∠PAB+∠PBA+∠O2BP=180°,
∴AO1∥BO2,∵AO1=BO2,
∴四边形ABO2O1是平行四边形,
∴AB=O1O2=2r.O1O2∥AB,
∵O1M∥O2N,
∴四边形MNO2O1是平行四边形,
∴O1M=O2N,∵O1M⊥AD,O2N⊥AD,
∴AC=BD(弦心距相等弦相等),
∴AB=CD,
∴CD=2r.
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