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已知椭圆C:(a>b>0)的离心率是e=,若点P(0,)到椭圆C上的点的最远距离为。(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的左焦点F1作直线l交椭圆C于点A,B,且|AB|等于椭圆的短轴长,

题目详情
已知椭圆C: (a>b>0)的离心率是e= ,若点P(0, )到椭圆C上的点的最远距离为
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左焦点F 1 作直线l交椭圆C于点A,B,且|AB|等于椭圆的短轴长,求直线l的方程。
▼优质解答
答案和解析
已知椭圆C: (a>b>0)的离心率是e= ,若点P(0, )到椭圆C上的点的最远距离为
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左焦点F 1 作直线l交椭圆C于点A,B,且|AB|等于椭圆的短轴长,求直线l的方程。
(1)因为
解得a=2b
则椭圆C的方程可化为
设Q(x 0 ,y 0 )是椭圆C上的一点,则有

所以

且a>0即0<a<1时,则当
PQ取最大值
解得
显然不符合题意,应舍去
,即a≥1时,则当
PQ取最大值
解得 符合题意
所以椭圆C的方程为
(2)由(1)知
当直线l垂直于x轴时,此时直线l的方程为
把它代入
解得
不妨设
则|AB|=1≠2,显然不满足题意,
当直线l不垂直于x轴时,此时可设直线l的方程为




所以
解得
综上,直线l的方程为