如图,已知AB是圆O的直径,直线l与圆O相切于点C,且弧AC=弧AD,CD交AB于E,BF⊥l,垂足为F,BF交圆O于点G（1）求GF=AE（2）若sin角CBF=根5/5AE=4求AB

Question

如图,已知AB是圆O的直径,直线l与圆O相切于点C,且弧AC=弧AD,CD交AB于E,BF⊥l,垂足为F,BF交圆O于点G
（1）求GF=AE （2）若sin角CBF=根5/5 AE=4 求AB

Answer 1

(1)弧AC=弧AD,则CD⊥AB.
连结OC,则OC//BF,圆周解ABG=圆心角AOC,由此可知,弧AC=弧CG.
连结AC、CG,易知,Rt三角形ACE全等Rt三角形CFG.所以,GF=AE.
(2)Rt三角形BCF和Rt三角形CFG中,角CBF=角GCF(同弧所对的圆周角和弦切角).
所以,Rt三角形BCF相似Rt三角形CFG.
sin角CFG=GF/CG=sin角CBF=√5/5.而GF=AE=4,所以,CG=4√5.AC=CG=4√5.
Rt三角形ACE相似Rt三角形ABC,则AB=AC^2/AE=20.