如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若⊙O的直径为10，sin∠DAC=55，求BD的长．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若⊙O的直径为10，sin∠DAC=(√(5))/(5)，求BD的长．

Answer 1

（1）连接OD．
∵OD、OA是⊙O的半径，
∴OA=OD．
∴∠OAD=∠ODA．
∵点D是⊙O的切点，
∴∠ODC=90°
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC．
∴∠ODA=∠DAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）如图2所示：连接ED．

∵⊙O的半径为5，AE是圆O的直径，
∴AE=10，∠EDA=90°．
∵∠EAD=∠CAD，sin∠DAC=(√(5))/(5)，
∴AD=(2√(5))/(5)×10=4√(5)．
∴DC=(√(5))/(5)×4√(5)=4，AC=(2√(5))/(5)×4√(5)=8．
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴(OD)/(AC)=(BD)/(BC)，即(5)/(8)=(BD)/(BD+4)，
解得：BD=(20)/(3)．