如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．（1）求∠APB的度数；（2）当OA=3时，求AP的长．

Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长．

Answer 1

（1）方法一：
∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四边形OAPB中，
∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．
方法二：
∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；
∵∠OAB=30°，OA⊥PA，
∴∠BAP=90°-30°=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB=60°．
（2）方法一：如图①，连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PO平分∠APB，即∠APO=(1)/(2)∠APB=30°，
又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，
∴AP=(OA)/(tan30°)=3 √(3)．
方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D；
∵在△OAB中，OA=OB，
∴AD=(1)/(2)AB；
∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，
∴AD=OA•cos30°=(3√(3))/(2)，
∴AP=AB=3√(3)．