如图，在△ABC中，AC=AB=10，BC=12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．（1）求△ADE的周长；（2）求内切圆的面积．

Question

如图，在△ABC中，AC=AB=10，BC=12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．
（1）求△ADE的周长；
（2）求内切圆的面积．

Answer 1

（1）连接AF，BO，CO，AO
∵AC=AB=10，BC=12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴AF⊥BC，AD=AE，
∴BF=CF=6，BD=BF=CF=CE=6，
∴AD=AE=4，
∵AD=AE，AB=AC，∠A=∠A，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴(AD)/(AB)=(DE)/(BC)=(4)/(10)=(2)/(5)，
∴DE=(2)/(5)×12=(24)/(5)，
∴△ADE的周长为：4+4+(24)/(5)=(64)/(5)；

（2）连接DO，AF，
由（1）得：AF=√(AB2−BF2)=√(102−62)=8，
设FO=r，则AO=8-r，
∴AD²+DO²=AO²，
∴r²+4²=（8-r）²，
解得：r=3，
∴内切圆的面积为：π×3²=9π．