32.如图,正方形ABCD的边长为a,以AB为直径作半圆O,过点C作半圆的切线交AD于F,切点为E．（1）求证：OC⊥OF；（2）求Rt△DCF的周长和面积．

Question

32.如图,正方形ABCD的边长为a,以AB为直径作半圆O,过点C作半圆的切线交AD于F,切点为E．
（1）求证：OC⊥OF；
（2）求Rt△DCF的周长和面积．

Answer 1

连接OE
则有
直角三角形CEO与CBO全等
直角三角形AOF与EOF全等
角AOF=角EOF
角COE=角BOC
所以
角COF=角EOF+角COE=180度/2=90度
OC⊥OF
2.在直角三角形BOC中
OC=根号（a*a+0.5a*0.5a)
=a*根号1.25
EC=根号(1.25a^2-0.25a^2)
=a
tan角FCO=0.5a/a=0.5=tan角FOE
故：FE=AF=1/2*OE=0.25a
FD=a-0.25a=0.75a
Rt△DCF的周长=a+0.75a+0.25a+a=3a
面积=1/2*a*0.75a=0.375a^2