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如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.(1)求证:直线PB与⊙O相切;(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
题目详情
如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
(1)求证:直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
(1)求证:直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
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答案和解析
(1)证明:连接OC,作OD⊥PB于D点.
∵⊙O与PA相切于点C,
∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上,OC⊥PA,OD⊥PB,
∴OD=OC.
∴直线PB与⊙O相切;
(2)设PO交⊙O于F,连接CF.
∵OC=3,PC=4,∴PO=5,PE=8.
∵⊙O与PA相切于点C,
∴∠PCF=∠E.
又∵∠CPF=∠EPC,
∴△PCF∽△PEC,
∴CF:CE=PC:PE=4:8=1:2.
∵EF是直径,
∴∠ECF=90°.
设CF=x,则EC=2x.
则x2+(2x)2=62,
解得x=
.
则EC=2x=
.
∵⊙O与PA相切于点C,
∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上,OC⊥PA,OD⊥PB,
∴OD=OC.
∴直线PB与⊙O相切;
(2)设PO交⊙O于F,连接CF.
∵OC=3,PC=4,∴PO=5,PE=8.
∵⊙O与PA相切于点C,
∴∠PCF=∠E.
又∵∠CPF=∠EPC,
∴△PCF∽△PEC,
∴CF:CE=PC:PE=4:8=1:2.
∵EF是直径,
∴∠ECF=90°.
设CF=x,则EC=2x.
则x2+(2x)2=62,
解得x=
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则EC=2x=
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