（2010•枣庄模拟）抛物线D以双曲线C：8y2-8x2=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．（1）求抛物线D的标准方程；（2）过直线l：y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB

Question

（2010•枣庄模拟）抛物线D以双曲线C：8y²-8x²=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线l：y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

（1）由题意，c²=(1)/(8)+(1)/(8)＝(1)/(4)，c＝(1)/(2)．
所以F(0，(1)/(2))，抛物线D的标准方程为x²=2y．…（3分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，x₀-1），
由x2＝2y，得y′＝x．因此y′|x＝x1＝x1
抛物线D在点A处的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A点处的切线过点P（x₀，x₀-1），所以x₀-1=x₁x₀-y₁，
即（x₁-1）x₀+1-y₁=0．
同理，（x₂-1）x₀+1-y₂=0．
可见，点A，B在直线（x-1）x₀+1-y=0上．
令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1
所以，直线AB过定点Q（1，1）…（6分）
（3）设P（x₀，x₀-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直线PQ的方程为y=((x0−1)−1)/(x0−1)(x−1)+1，即y＝(x0−2)/(x0−1)x+(1)/(x0−1)．
由

y＝(x0−2)/(x0−1)x+(1)/(x0−1)

x2＝2y

，消去y，
得x²-(2(x0−2))/(x0−1)x−(2)/(x0−1)=0．
由韦达定理，x₃+x₄=(2(x0−2))/(x0−1)，x3x4＝−(2)/(作业帮用户2017-10-29问题解析（1）由题意，求出c值，从而得出F(0，(1)/(2))，最后写出抛物线D的标准方程；（2）先设出切点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x0，x0-1），代入两条切线方程，得x0-1=x0x1-y1．x0-1=x0x2-y2．故直线AB的方程为x0-1=x0x-y，过定点（1，1）（3）先写出直线PQ的方程y=(x0-2)/(x0-1)（x-1）+1，代入抛物线方程y=(1)/(2)x2，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x3，y3），N（x4，y4），要证(|PM|)/(|PN|)=(|QM|)/(|QN|)，只需证明(x3-x0)/(x4-x0)=(1-x3)/(x4-1)，即2x3x4-（1+x0）（x3+x4）+2x0=0，最后利用韦达定理将x3+x4和x3x4代入即可得证．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．考点点评：本题考察了抛物线的切线方程，直线与抛物线相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题时的重要运用，还要有较强的运算推理能力扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)