过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k＞1）的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设点Q2在x轴上的投影是点P2；…依次下去，得到一系列

Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k＞1）的切线，切点为Q₁，设点Q₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设点Q₂在x轴上的投影是点P₂；…依次下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…Q_n，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求证：an＝((k)/(k−1))n，n∈N*；
（Ⅱ）求证：a_n≥1+(n)/(k−1)；
（Ⅲ）求证：(1)/(a1)+(2)/(a2)+(3)/(a3)…+(n)/(an)＜k2-k．

Answer 1

证明：（Ⅰ）对y=x^k求导数，
得y′=kx^k-1，
点Q_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
当n=1时，切线过点P₁（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1＝(k)/(k−1)；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得(an)/(an−1)＝(k)/(k−1)．
∴数列{a_n}是首项a1＝(k)/(k−1)，公比为(k)/(k−1)的等比数列，
数列{a_n}的通项公式为an＝((k)/(k−1))n，n∈N^*；
（ II）应用二项式定理，得an＝((k)/(k−1))n＝(1+(1)/(k−1))n
=

C

0 n

+

C

1 n

•(1)/(k−1)+

C

2 n

•((1)/(k−1))2+…+

C

n n

•((1)/(k−1))n＞1−(n)/(k−1)； 
（ III）an＝((k)/(k−1))n，
令q=(k)/(k−1)，则an＝qn，
Sn＝(1)/(a1)+(2)/(a2)+(3)/(a3)+…+(n)/(an)=(1)/(q)+

作业帮用户 2017-10-23

问题解析

（Ⅰ）对函数y=x^k求导，求出过曲线上的点Q_n的切线方程，结合其投影点求得数列{a_n}是首项a1＝(k)/(k−1)，公比为(k)/(k−1)的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列的通项公式变形，运用二项式定理放缩证明a_n≥1+(n)/(k−1)；
（Ⅲ）由错位相减法求出(1)/(a1)+(2)/(a2)+…+(n)/(an)，然后利用数学归纳法证明答案．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合．

考点点评：

本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了等比关系的确定，训练了利用放缩法和数学归纳法证明数列不等式，是压轴题．

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