在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线（）A．只有1条B．只有2条C．至少有3条D．不存在

Question

在曲线x=t，y=-t²，z=t³的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线（　　）

A．只有1条
B．只有2条
C．至少有3条
D．不存在

Answer 1

∵曲线x=t，y=-t²，z=t³的切向量：

T

＝(x′，y′，z′)＝(1，−2t，3t2)，
而平面x+2y+z=4的法向量：

n

＝(1，2，1)，
∴要使得曲线的切线与平面平行，则必有：

T

⊥

n

，
即：

T

•

n

＝1−4t+3t2＝0，
解得：t＝(1)/(3)和t=1，
①当t＝(1)/(3)时，(x，y，z)＝((1)/(3)，−(1)/(9)，(1)/(27))；
②当t=1时，（x，y，z）=（1，-1，1）
这两个点都不在平面x+2y+z=4上，
因此：在曲线x=t，y=-t²，z=t³的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线只有两条．