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如图,AB是O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证:CF是O的切线;(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根
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如图,AB是 O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交 O于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.
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(1)求证:CF是 O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
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(1)求证:CF是 O的切线;
(2)若∠F=30°,EB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图连接OD.
∵四边形OBEC是平行四边形,
∴OC∥BE,
∴∠AOC=∠OBE,∠COD=∠ODB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠DOC=∠AOC,
在△COD和△COA中,
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∴△COD≌△COA,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴CF⊥OD,
∴CF是 O的切线.
(2) ∵∠F=30°,∠ODF=90°,
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°,
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DBO=60°,
∵∠DBO=∠F+∠FDB,
∴∠FDB=∠EDC=30°,
∵EC∥OB,
∴∠E=180°-∠OBD=120°,
∴∠ECD=180°-∠E-∠EDC=30°,
∴EC=ED=BO=DB,
∵EB=4,
∴OB=OD═OA=2,
在RT△AOC中,∵∠OAC=90°,OA=2,∠AOC=60°,
∴AC=OA•tan60°=2
,
∴S阴=2•S△AOC-S扇形OAD=2×
×2×2
-
=4
-
.
∵四边形OBEC是平行四边形,
∴OC∥BE,
∴∠AOC=∠OBE,∠COD=∠ODB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠DOC=∠AOC,
在△COD和△COA中,
|
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∴△COD≌△COA,
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴CF⊥OD,
∴CF是 O的切线.
(2) ∵∠F=30°,∠ODF=90°,
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°,
∵OD=OB,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠DBO=60°,
∵∠DBO=∠F+∠FDB,
∴∠FDB=∠EDC=30°,
∵EC∥OB,
∴∠E=180°-∠OBD=120°,
∴∠ECD=180°-∠E-∠EDC=30°,
∴EC=ED=BO=DB,
∵EB=4,
∴OB=OD═OA=2,
在RT△AOC中,∵∠OAC=90°,OA=2,∠AOC=60°,
∴AC=OA•tan60°=2
3 |
∴S阴=2•S△AOC-S扇形OAD=2×
1 |
2 |
3 |
120π•22 |
360 |
3 |
4π |
3 |
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