如图，AB是O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是O的切线；（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根

Question

如图，AB是 O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交 O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是 O的切线；
（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

（1）证明：如图连接OD．
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴OC∥BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，

OC=OC

∠COD=∠COA

OD=OA

，
∴△COD≌△COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∴CF⊥OD，
∴CF是 O的切线．
（2） ∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∵∠DBO=∠F+∠FDB，
∴∠FDB=∠EDC=30°，
∵EC∥OB，
∴∠E=180°-∠OBD=120°，
∴∠ECD=180°-∠E-∠EDC=30°，
∴EC=ED=BO=DB，
∵EB=4，
∴OB=OD═OA=2，
在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
∴AC=OA•tan60°=2√(3)，
∴S_阴=2•S_△AOC-S_扇形OAD=2×(1)/(2)×2×2√(3)-(120π•22)/(360)=4√(3)-(4π)/(3)．