已知函数f（x）=ex-alnx-a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间(ae，1)上有极小值，且极小值大于0．

Question

已知函数f（x）=e^x-alnx-a．
（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间((a)/(e)，1)上有极小值，且极小值大于0．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=e^x-alnx-a，x>0，
由a=e，则f（x）=e^x-e（lnx-1），求导f′（x）=e^x-(e)/(x)，
由f（1）=0，f′（1）=0，
∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0，
（Ⅱ）由a∈（0，e），则导f′（x）=e^x-(a)/(x)，在（(a)/(e)，1）上是单调递增函数，
由f′（(a)/(e)）=e(a)/(e)-e<0，f′（1）=e-a>0，
则∃x₀∈（(a)/(e)，1）使得ex0-(a)/(x0)=0，
∴∀x∈（(a)/(e)，x₀），f′（x₀）<0，∀x∈（x₀，1），f′（x₀）>0，
故f（x）在（(a)/(e)，x₀）上单调递减，在（x₀，1）上单调递增，
∴f（x）有极小值f（x₀），由ex0-(a)/(x0)=0，
则f（x₀）=ex0-a（lnx₀+1）=a（(1)/(x0)-lnx₀-1），
设g（x）=a（(1)/(x)-lnx-1），x∈（(a)/(e)，1），
g′（x）=a（-(1)/(x2)-(1)/(x)）=-(a(1+x))/(x2)，
∴g（x）在（(a)/(e)，1）上单调递减，
∴g（x）>g（1）=0，
即f（x₀）>0，
∴函数f（x）的极小值大于0．