已知f（x）=alnx+x+1+a+1x（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）已知h（x）=2ex-1x+a，若x1，x2是f（x）的两个极值点，且∃m∈（0，2]，f（x1）+f（x2）>h（m），求实数a的取值范围．

Question

已知f（x）=alnx+x+1+(a+1)/(x)（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知h（x）=(2ex-1)/(x)+a，若x₁，x₂是f（x）的两个极值点，且∃m∈（0，2]，f（x₁）+f（x₂）>h（m），求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=((x+a+1)(x-1))/(x2)，（1分）
当a≥-1时，-（a+1）≤0，当0<x<1时，f′（x）<0，当x>1时，f′（x）>0，
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
当-2<a<-1时，0<-（a+1）<1，当0<x<-（a+1）或x>1时，f'（x）>0，当-（a+1）<x<1时，f'（x）<0，∴f（x）的增区间为（0，-（a+1）），（1，+∞），减区间为（-（a+1），1）；
当a=-2时，f'（x）≥0，则f（x）的增区间为（0，+∞）；
当a<-2时，-（a+1）>1，当1<x<-（a+1）时，f'（x）<0，当0<x<1或x>-（x+1）时，h'（x）>0，
∴f（x）的减区间为（1，-（a+1）），增区间为（0，1），（-（a+1），+∞）．（5分）
综上所述，当a<-2时，f（x）的减区间为（1，-（a+1）），增区间为（0，1），（-（a+1），+∞）；
当a=-2时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当-2<a<-1时，f（x）的增区间为（0，-（a+1）），（1，+∞），减区间为（-（a+1），1）；
当a≥-1时，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．（6分）
（Ⅱ）由题知，h′(x)=(2ex-1(x-1))/(x2)，当0<x<1时，h'（x）<0，当1<x<2时，h'（x）>0，故h（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，故h（x）_min=h（1）=a+2，
由题知f（x₁）+f（x₂）>a+2，（8分）
由（Ⅰ）知，要使f（x）有两个极值点，即f'（x）=0在（0，+∞）上有两解，则a<-1且a≠-2；
当a<-2时，f（x）的减区间为（1，-（a+1）），增区间为（0，1），（-（a+1），+∞），故f（x）在x=1处取极大值f（1）=a+3，在x=-（a+1）处取极小值f[-（a+1）]=aln[-（a+1）]-a-1；
当-2<a<-1时，f（x）的增区间为（0，-（a+1）），（1，+∞），减区间为（-（a+1），1），故f（x）在x=1处取极小值f（1）=a+3，在x=-（a+1）取极大值f[-（a+1）]=aln[-（a+1）]-a-1．
由题知，f（1）+f[（-（a+1）]=a+3+aln[-（a+1）]-a-1>a+2，（11分）
∴aln[-（a+1）]-a>0，即ln[-（a+1）]<1=lne，
∴0<-（a+1）<e，解得-1-e<a<-1且a≠-2，
综上所述，实数a的取值范围为（-1-e，-2）∪（-2，-1）．（12分）