已知函数f（x）=lnx-a(x-1)x+1，a∈R．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx-(a(x-1))/(x+1)，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′(x)=(1)/(x)-(a(x+1)-a(x-1))/((x+1)2)=((x+1)2-2ax)/(x(x+1)2)=(x2+(2-2a)x+1)/(x(x+1)2)．
由题意知f′（2）=0，代入得a=(9)/(4)，经检验，符合题意．
从而切线斜率k=f′(1)=-(1)/(8)，切点为（1，0），
∴切线方程为x+8y-1=0；
（2）f′(x)=(x2+(2-2a)x+1)/(x(x+1)2)．
∵f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

即x2+(2-2a)x+1≥0在(0，+∞)上恒成立.

当x∈(0，+∞)时，由x2+(2-2a)x+1≥0，得2a-2≤x+(1)/(x).

设g(x)=x+(1)/(x)，x∈(0，+∞)．g(x)=x+(1)/(x)≥2√(x•(1)/(x))=2.

所以当且仅当x=(1)/(x)，即x=1时，g(x)有最小值2.

∴2a-2≤2．∴a≤2．
∴a的取值范围是（-∞，2]．