若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围是．

Question

若两曲线y=x²-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围是___．

Answer 1

两曲线y=x²-1与y=alnx-1存在公切线，
y=x²-1的导数y′=2x，y=alnx-1的导数为y′=(a)/(x)，
设y=x²-1相切的切点为（n，n²-1）与曲线y=alnx-1相切的切点为（m，alnm-1），
y-（n²-1）=2n（x-n），即y=2nx-n²-1，
y-（alnm-1）=(a)/(m)（x-m），即：y=(a)/(m)x-a+alnm-1
∴

2n=(a)/(m)

n2+1=a+1-alnm

∴(a2)/(4m2)=a-alnm∵a>0，
∴(a)/(4m2)=1-lnm
即(a)/(4)=m2(1-lnm)有解即可，
令g（x）=x²（1-lnx），
y′=2x（1-lnx）+x2(-(1)/(x))=x（1-2lnx）=0，可得x=√(e)，
∴g（x）在（0，√(e)）是增函数；（√(e)，++∞）是减函数，g（x）的最大值为：g（√(e)）=(e)/(2)，
又g（0）=0，
∴0<(a)/(4)<(e)/(2)，∴0<a<2e．
故答案为：（0，2e）