如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ．求证：AX•AY=BP•BQ．

Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ．求证：AX•AY=BP•BQ．

Answer 1

证明：如图：

作小 O的切线AM，BN，切点分别为M、N，连接AO，OM，BO，ON，
则根据切割线定理得：AM²=AX•AY，BN²=BP•BQ，
∵小 O的切线AM，BN，切点分别为M、N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在Rt△AMO和Rt△BNO中，

AO=BO

OM=ON

，
∴Rt△AMO≌Rt△BNO（HL），
∴AM=BN，
∴AX•AY=BP•BQ．