已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=33x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…的半径分别是r1、r2、r3…，则当r1=1时，则r2012=（）A．32011B．32012C．32010

Question

已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=(√(3))/(3)x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C_3…的半径分别是r₁、r₂、r_3…，则当r₁=1时，则r₂₀₁₂=（　　）

A．3²⁰¹¹
B．3²⁰¹²
C．3²⁰¹⁰
D．3

Answer 1

连接C₁A，C₂B，C₃C，
∵三半圆都与直线OC相切，
∴C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
又∵三个半圆依次与直线y=(√(3))/(3)x相切并且圆心都在x轴上，
∴y=(√(3))/(3)x的倾斜角是30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∵r₁=1=3⁰，∴r₂=3=3¹，
∴OC₁=2，0C₂=2r₂=6r₁=6，0C₃=18，
∴r₃=9=3²，
∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1，
则r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故选A