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如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2,由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,分别连接O1A、O1B、O2A、O2B和AB.(1)如图②,当∠AO1B=
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如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2,由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,分别连接O1A、O1B、O2A、O2B和AB.
(1)如图②,当∠AO1B=120°时,求两圆重叠部分图形的周长l;
(2)设∠AO1B的度数为x,两圆重叠部分图形的周长为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)由(2),若y=2π,则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系,为什么?除此之外,它们还有其它的位置关系,写出其它位置关系时x的取值范围.(奖励提示:如果你还能解决下列问题,将酌情另加1~5分,并计入总分.)
在原题的条件下,设∠AO1B的度数为2n,可以发现有些图形的面积S也随∠AO1B变化而变化,试求出其中一个S与n的关系式,并写出n的取值范围.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e7cd7b899e510fb366e3381bda33c895d0430c47.jpg)
(1)如图②,当∠AO1B=120°时,求两圆重叠部分图形的周长l;
(2)设∠AO1B的度数为x,两圆重叠部分图形的周长为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)由(2),若y=2π,则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系,为什么?除此之外,它们还有其它的位置关系,写出其它位置关系时x的取值范围.(奖励提示:如果你还能解决下列问题,将酌情另加1~5分,并计入总分.)
在原题的条件下,设∠AO1B的度数为2n,可以发现有些图形的面积S也随∠AO1B变化而变化,试求出其中一个S与n的关系式,并写出n的取值范围.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e7cd7b899e510fb366e3381bda33c895d0430c47.jpg)
▼优质解答
答案和解析
(1)如图②由题意知
解法一:依对称性得,∠AO2B=∠AO1B=120°,
∴l=2×[
×(2π×2)]=
,
解法二:∵O1A=O1B=O2A=O2B,
∴四边形AO1BO2是菱形,
∴∠AO2B=∠AO1B=120°,
∴l=2×
的长=2×
=
;
(2)由(1)知菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B,且度数都是x,
∴y=2×
,
得y=
x(0≤x≤180);
(3)若y=2π,则线段O2A所在直线与圆O1相切,
因为y=2π,由(2)知
x=2π,
解得x=90,
∴∠AO1B=90°,知菱形AO1BO2是正方形,
∴∠O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,
而O1A是圆O1的半径,且点A为O1A的外端,
∴线段O2A所在的直线与圆O1相切.
还有线段O2A所在的直线与圆O1相交,此时0≤x<90和90<x≤180,
如:扇形O1AB的面积:S=
π×22=
n(0≤n≤90);
△O1AB的面积:S=4sinn°cosn°(0≤n≤90);
半重叠部分图形的面积:S=
n-4sinn°cosn°(0≤n≤90).
解法一:依对称性得,∠AO2B=∠AO1B=120°,
∴l=2×[
1 |
3 |
8π |
3 |
解法二:∵O1A=O1B=O2A=O2B,
∴四边形AO1BO2是菱形,
∴∠AO2B=∠AO1B=120°,
∴l=2×
![]() |
AO2B |
120×π×2 |
180 |
8π |
3 |
(2)由(1)知菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B,且度数都是x,
∴y=2×
x•π×2 |
180 |
得y=
π |
45 |
(3)若y=2π,则线段O2A所在直线与圆O1相切,
因为y=2π,由(2)知
π |
45 |
解得x=90,
∴∠AO1B=90°,知菱形AO1BO2是正方形,
∴∠O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,
而O1A是圆O1的半径,且点A为O1A的外端,
∴线段O2A所在的直线与圆O1相切.
还有线段O2A所在的直线与圆O1相交,此时0≤x<90和90<x≤180,
如:扇形O1AB的面积:S=
2n |
360 |
π |
45 |
△O1AB的面积:S=4sinn°cosn°(0≤n≤90);
半重叠部分图形的面积:S=
π |
45 |
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