如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．（1）求证：△BMD∽△CNE；（2）当BD为何值时，以M为圆心，

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；当x为何值时，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

（1）通过证明角相等，从而证明△BMD∽△CNE。
（2）当BD=16﹣8 时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切
（3）y=﹣ （x﹣2） ² + （0≤x≤4）
当x=2时，y有最大值，最大值为 ．

试题分析：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；
（2）过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，
∴MH=MF，
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°= = = ，
解得：x=16﹣8 ，
∴当BD=16﹣8 时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；
（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=BC=×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4× = ，
∴S _△ABC =BC•AK=×8× = ，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH= x，
∴S _△BDM =•x• x= x ² ，
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S _△BDM ：S _△CEN =（ ） ² = ，
∴S _△CEN = （4﹣x） ² ，
∴y=S _△ABC ﹣S _△CEN ﹣S _△BDM = ﹣ x ² ﹣ （4﹣x） ² =﹣ x ² +2 x+ =﹣ （x﹣2） ² + （0≤x≤4），
当x=2时，y有最大值，最大值为 ．


点评：中考压轴题，综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用