如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．（1）求证：BE=CE；（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D、E、F．

（1）求证：BE=CE；
（2）若∠A=90°，AB=AC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

解法一：（1）证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∵AB=AC，
∴AB-AD=AC-AF，
即BD=CF，
∴BE=CE；
解法二：（1）证明：连结OB、OC、OE
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=(1)/(2)∠ABC，∠OCB=(1)/(2)∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为E，
∴OE⊥BC，
∴BE=CE；
（2）连结OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°，
又∵OD=OF，
∴四边形ODAF是正方形，
设OD=AD=AF=r，
则BE=BD=CF=CE=2-r，
在△ABC中，∠A=90°，
∴BC＝√(AB2+AC2)＝2√(2)，
又∵BC=BE+CE，
∴（2-r）+（2-r）=2√(2)，
得：r=2−√(2)，
∴⊙O的半径是2−√(2)．