一个圆锥,高是h,底圆半径是a,问这个圆锥内切正方体的最大体积是多少?(算出来的体积是一个常数乘以h*r平方)尽量详细一点.这道题的答案最后是8/27hr平方

Question

一个圆锥,高是h,底圆半径是a,
问这个圆锥内切正方体的最大体积是多少?(算出来的体积是一个常数乘以h*r平方)尽量详细一点.
这道题的答案最后是8/27hr平方

Answer 1

楼主的问题似乎有些问题：
如果是内切正方体,应该只有一个
设内切处圆半径为r,则正方体的边长为r*根号2（这个楼主画下截面图就明白了,此处不方便画图）
故此截面至圆锥体顶点所构成的小圆锥体与大圆锥体有如下关系：
h/a=(h-r*根号2)/r
解之有：
r=a*h/(h+a*根号2)
如果是长方体,内切的那个面是正方形,可以设长方体的长宽为x,高为y,
则有：内切处圆的半径r=x/根号2,
故此截面至圆锥体顶点所构成的小圆锥体与大圆锥体有如下关系：
h/a=(h-y)*根号2/x
故,x=a*(h-y)*根号2/h
故,长方体的体积为V=2*y*[a*(h-y)/h]^2
对V求导,得到dV/dy=3y^2-4hy+h^2
令dV/dy=0,解得y=h,h/3
剔去y=h的不合理解
得到y=h/3时,正方体体积有最大值,其值为：
V=8ha^2/27