设椭圆c：x^2/a^2+y^2b^2=1,过点（0,4）,离心率为3/5,1求c的方程,2求过点（3,0）且斜率为4/5的直线被C所截线段的中点坐标

Question

设椭圆c：x^2/a^2+y^2b^2=1,过点（0,4）,离心率为3/5,
1求c的方程,2求过点（3,0）且斜率为4/5的直线被C所截线段的中点坐标

Answer 1

(1)由于椭圆过点(0,4),从而 b=4,又e=c/a=3/5,得c=(3/5)a
所以 a²=b²+c²=16+(9/25)a²,a²=25,a=5
所以 椭圆的方程为x²/25+y²/16=1
(2) 用点差法.
设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,且
16x1²+25y1²=144 (1)
16x2²+25y2²=144 (2)
(2)-(1),得 16(x2-x1)(x1+x2)+25(y2-y1)(y1+y2)=0
所以 AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-16(x1+x2)/[25(y1+y2)]=-16x0/(25y0)=4/5
即 -4x0=5y0 (3)
又点（3,0）和M也在直线AB上,从而k=y0/(x0-3)=4/5
即 4x0-12=5y0 (4)
由（3）（4）,解得x0=3/2,y0=-6/5
中点坐标为(3/2,-6/5)