在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆E：x24+y2b2=1（0<b<2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（-1，0），N（1，0），

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=b²经过椭圆E：(x2)/(4)+(y2)/(b2)=1（0<b<2）的焦点．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（-1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k₁，k₂，当2m²-2k²=1时，求k₁•k₂的值．

Answer 1

（1）因0又圆O：x²+y²=b²经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）
所以2b²=4，即b²=2，所以椭圆E的方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)=1．…（6分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），T（x₀，y₀），
联立

(x2)/(4)+(y2)/(2)=1

y=kx+m

，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
所以x1+x2=-(4km)/(1+2k2)，又2m²-2k²=1，所以x₁+x₂=-(2k)/(m)，
所以x0=-(k)/(m)，y0=m-k•(k)/(m)=(1)/(2m)，…（10分）
则k1•k2=((1)/(2m))/(-(k)/(m)+1)•((1)/(2m))/(-(k)/(m)-1)=(1)/(4k2-4m2)=(1)/(-2(2m2-2k2))=-(1)/(2)．…（14分）