椭圆的左焦点为F,过原点的直线与椭圆相交于A,B两点,AB=10,AF=6,cos∠ABF=4/5,求椭圆的离心率

Question

椭圆的左焦点为F,过原点的直线与椭圆相交于A,B两点,AB=10,AF=6,cos∠ABF=4/5,求椭圆的离心率

Answer 1

在△AFB中,由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,
∴62=102+|BF|2-20|BF|×4/ 5
,化为（|BF|-8）2=0,解得|BF|=8．
设F′为椭圆的右焦点,连接BF′,AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=6,|FF′|=10．
∴2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5．
∴e=c /a =5/7
．