过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,做任意一条直线交抛物线于A,B两点,且|AF|=m,|BF|=n,求证：1/m+1/n=2/p

Question

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,做任意一条直线交抛物线于A,B两点,且|AF|=m,|BF|=n,
求证：1/m+1/n=2/p

Answer 1

根据抛物线定义.抛物线上的一点到焦点的距离=点到准线的距离 ①
设过焦点直线方程为y=k(x-p/2) 代入 抛物线方程有：(kx+b)^2-2px=0 变形有： k^2*x^2-(kp+2p) x+p^2*k^2/4=0
有两个根设为 x1,x2, 所以 x1+x2= (p+kp)/k^2 ③ x1x2=p^2/4 ④
根据①有 |AF|=x1+p/2=m ,|BF|=x2+p/2=n
1/m+1/n=(m+n)/(mn)=(x1+x2+p)/(x1x2+p/2*(x1+x2)+p^2/4) 将③ ④ 代入
=((p+kp)/k^2 +p)/(p^2/4+p/2*(p+kp)/k^2 +p^2/4)
=(p+kp +p*k^2)/(k^2*p^2/2+p^2/2+kp^2/2)
=2/p