（2014•益阳模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求OA•OB的取值范围

Question

（2014•益阳模拟）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为(√(2))/(2)．过点M（2，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的取值范围；
（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．

Answer 1

（Ⅰ）由题意b=1，e＝(c)/(a)＝(√(2))/(2)得a²=2c²=2a²-2b²，故a²=2．
故方程为(x2)/(2)+y2＝1．（3分）
（Ⅱ）设l：y=k（x-2），与椭圆C的方程联立，消去y得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△＞0得0≤k2＜(1)/(2)．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝(8k2)/(1+2k2)，x1x2＝(8k2−2)/(1+2k2)．
∴

OA

•

OB

＝x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1−2)(x2−2)＝(1+k2)x1x2−2k2(x1+x2)+4k2
=(10k2−2)/(1+2k2)＝5−(7)/(1+2k2)．
∵0≤k2＜(1)/(2)，∴