（2014•四川）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，

Question

（2014•四川）已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当(|TF|)/(|PQ|)最小时，求点T的坐标．

Answer 1

（1）依题意有

c＝2

a＝√(3)b

a2−b2＝c2＝4

解得

a2＝6

b2＝2

所以椭圆C的标准方程为(x2)/(6)+(y2)/(2)=1．
（2）设T（-3，t），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为N（x₀，y₀），
①证明：由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，则PQ的斜率kPQ＝(1)/(m)．
由√(x＝my−作业帮用户2017-11-04问题解析第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将(|TF|)/(|PQ|)表示出来，由(|TF|)/(|PQ|)取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．考点点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)