椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，若OA•OB＞-

Question

椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是√(6)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，若

OA

•

OB

＞-(4)/(3)，求k的取值范围．

Answer 1

（I）设椭圆C的方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)．
由右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是√(6)．
可得c=2，a=√(6)，∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的方程为(x2)/(6)+(y2)/(2)＝1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=k（x-2）．
联立

y＝k(x−2)

x2+3y2＝6

，化为（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
则x1+x2＝(12k2)/(1+3k2)，x1x2＝(12k2−6)/(1+3k2)．
y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=k²[(12k2−6)/(1+3k2)−

24k

作业帮用户 2017-09-24

问题解析

（I）设椭圆C的方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)．由右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是√(6)．可得c=2，a=√(6)，再利用b²=a²-c²=2即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=k（x-2）．与椭圆的方程联立可得：（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，利用根与系数的关系即可得出

OA

•

OB

，进而解出．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的数量积运算、不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

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