已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞0，b＞0）焦点为F1，F2，已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞0，b＞0）焦点为F1，F2，其中长轴端点为A1,A2，短轴端点为B1，B2，若以焦距F1F2为直径的圆恰好内切于四边形A1A2B1B

Question

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞0，b＞0）焦点为F1，F2，已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞0，b＞0）焦点为F1，F2，其中长轴端点为A1,A2，短轴端点为B1，B2，若以焦距F1F2为直径的圆恰好内切于四边形A1A2B1B2,则椭圆的离心率为多少.

Answer 1

很明显A1A2B1B2是一个菱形 F1F2为直径的圆的半径为c 过圆心向A1B1作出垂线又因为△A1B1O是直角三角形，那么我们作出的垂线就是Rt△A1B1O斜边上的高 所以c=ab/√a^2+b^2 ==>c^2(a^2+b^2)=a^2b^2 ==>c^2(a^2+a^2-c^2)=a^2(a^2-c^2) ==>2a^2c^2-c^4=a^4-a^2c^2 ==>c^4-3a^2c^2+a^4=0 ==>(c/a)^4-3(c/a)^2+1=0 ==>e^4-3e^2+1=0 所以e^2=(3±√5)/2 因为e