已知椭圆C+x^2/a^2＋y^2/b^2=1的长轴长是短轴长的两倍,离心率为√3/2,求椭圆C方程(2)设不过原点o直线与椭圆c交与两点MN,直线OM.MNOB斜率依次成等比数列,求OMN面积取值范围

Question

已知椭圆C+x^2/a^2＋y^2/b^2=1的长轴长是短轴长的两倍,离心率为√3/2,求椭圆C方程(2)设不过原点o直线与椭圆c交与两点MN,直线OM.MNOB斜率依次成等比数列,求OMN面积取值范围

Answer 1

2a=2*2b,即有a=2b
e^2=c^2/a^2=3/4
4c^2=3a^2
4(a^2-b^2)=3a^2
a^2=4b^2.
还差条件,才能求得椭圆的方程.
设椭圆的方程是x^2/4+y^2=1.
令M(x1,y1),N(x2,y2).直线MN方程为:y=kx+m(其中k=(y2-y1)/(x2-x1)) ①代入x^2/4+y^2=1②并整理得:
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0.③
依题意有Δ=16(1+4k^2-m^2)>0.x1+x2=-(8km)/ (1+4k^2).
| x2-x1|=√Δ]/(1+4k^2),| y2-y1|=|k( x2-x1)|= |k|√Δ]/(1+4k^2),
x1x2=4(m^2-1) /(1+4k^2),
y1y2= (kx1+m)( kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2
=4 k^2(m^2-1) /(1+4k^2) - (8k^2m^2)/ (1+4k^2) + m^2
OM,MN,ON斜率成等比数列,则有(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=y1y2/x1x2.④
即k^2=[4 k^2(m^2-1) /(1+4k^2)-(8k^2m^2)/ (1+4k^2)+m^2]/ [4(m^2-1) /(1+4k^2)]
整理得:k^2=1/4.
|MN|=[√(1+k^2)√Δ]/(1+4k^2)= [4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2) ⑤
O到直线MN的距离d=|m|/(√(1+k^2) ⑥
△OMN面积=|MN|*d/2=[4√(1+k^2)√(1+4k^2-m^2)]/(1+4k^2) *|m|/(√(1+k^2)/2 =2|m|√(1+4k^2-m^2)/(1+4k^2) =2|m|√(1+1-m^2)/(1+1)
=|m|√(2-m^2) ⑦
显然△OMN面积在|m|=1时取得最大值1,最小值为0,故取值范围(0,1].