如图，已知MN分别是椭圆C1、C2的长轴和短轴，且C1、C2的离心率都等于22，直线l⊥MN，l与C1交于B，C两点，与C2交于A，D两点．（I）当|MN|=4时，求C1，C2的方程；（II）当l平行移动时，（ⅰ）证

Question

如图，已知MN分别是椭圆C₁、C₂的长轴和短轴，且C₁、C₂的离心率都等于(√(2))/(2)，直线l⊥MN，l与C₁交于B，C两点，与C₂交于A，D两点．
（I）当|MN|=4时，求C₁，C₂的方程；
（II）当l平行移动时，
（ⅰ）证明：|BC|：|AD|为定值；
（ⅱ）是否存在直线l，使BO∥AN？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（ⅱ）是否存在直线l，使BO∥AN？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵C₁离心率都等于(√(2))/(2)，长轴长|MN|=4，
∴a=2，(c)/(a)=(√(2))/(2)
∴c=√(2)
∴b²=a²-c²=2
∴C₁方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)=1；
∵C₂的离心率都等于(√(2))/(2)，短轴长|MN|=4，
∴C₂方程为(x2)/(4)+(y2)/(8)=1；
（II）（ⅰ）证明：由于C₁、C₂的离心率都等于(√(2))/(2)，可设C₁：(x2)/(a2)+(2y2)/(a2)=1，C₂：(x2)/(a2)+(y2)/(2a2)=1
设l：x=t（|t|＜a），分别与C₁、C₂方程联立，求得A（t，

作业帮用户 2017-11-07

问题解析

（I）根据MN分别是椭圆C₁、C₂的长轴和短轴，且C₁、C₂的离心率都等于

(√(2))/(2)，确定几何量之间的关系，即可求得椭圆的方程；
（II）（ⅰ）根据C₁、C₂的离心率都等于(√(2))/(2)，可设C₁，C₂的方程，设l：x=t（|t|＜a），分别与C₁、C₂方程联立，求得A，B的坐标，即可证得结论；（ⅱ）t=0时的l不符合题意；t≠0时，BO∥AN⇔k_BO=k_AN，利用BO∥AN建立等式，求得t=-a，与|t|＜a矛盾，故可得结论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．

考点点评：

本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

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