如图,在平面直角坐标系中,AB垂直x轴于点B（-1,0）.CD垂直x轴于点D（-3,0）直线AC与x轴、y轴分别交与点F、E,且解析式为y=kx+3.四边形ABDC的面积=4.（1）求直线AC的解析式.（2）试探索在x轴正半轴上

Question

如图,在平面直角坐标系中,AB垂直x轴于点B（-1,0）.CD垂直x轴于点D（-3,0）
直线AC与x轴、y轴分别交与点F、E,且解析式为y=kx+3.四边形ABDC的面积=4.
（1）求直线AC的解析式.
（2）试探索在x轴正半轴上存在几个点P,是三角形EPF为等腰三角形,并求出这些点的坐标.

Answer 1

（1）因为AB⊥x轴,CD⊥x轴,所以A、B两点横坐标相等,C、D两点横坐标相等,又因为直线AC的解析式为y=kx+3,所以可得A、C两点坐标分别为：
A(-1,-k+3),
C(-3,-3k+3)
则|AB|=|-k+3|,
|CD|=|-3k+3|,
又因为|BD|=2,四边形ABDC（直角梯形）的面积=4,则有：
（|-k+3|+|-3k+3|）×|BD|/2=4,
当k3时,分别去绝对值对k进行求解,有：
k=1/2或k=2;
所以AC的解析式为：
y=x/2+3
或者
y=2x+3
(2)
分析：由题目已知,EF是三角形的一条边,若构成等腰三角形,则EF可能是底边或腰,但是,如果EF为底边,P点势必落在x的负半轴上,与题意不符,因此,EF只能是三角形的一条腰,所以又分为∠FEP为一个底角和∠FEP为顶角两种情况,即满足条件的P点有两个.
①∠FEP为一个底角时：
当直线CA的方程为y=x/2+3时,可知E点坐标为（0,3）,F点坐标为（-6,0）,且|FE|=3√5,又因为|FP|=|FE|,所以点P的坐标为（3√5-6,0）；
当直线CA的方程为y=2x+3时,可知E点坐标为（0,3）,F点坐标为（-3/2,0）,且|FE|=(3√5)/2,又因为|FP|=|FE|,所以点P的坐标为(（3√5-3)/2,0）；
②∠FEP为顶角时：
因为|EF|=|EP|,所以|OF|=|OP|,所以P点与F点关于y轴对称,有：
当直线CA的方程为y=x/2+3时,P点坐标为（6,0）；
当直线CA的方程为y=2x+3时,P点坐标为（3/2,0）.