设P是椭圆短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．

Question

设P是椭圆 短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：
依题意可知|PQ|=，因为Q在椭圆上，所以x2=a2（1-y2），|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1=（1-a2）y2-2y+1+a2=（1-a2）（y-）2-+1+a2．由此分类讨论进行求解．

由已知得到P（0，1）或P（0，-1）由于对称性，不妨取P（0，1）设Q（x，y）是椭圆上的任一点，则|PQ|=，①又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2（1-y2），|PQ|2=a2（1-y2）+y2-2y+1=（1-a2）y2-2y+1+a2=（1-a2）（y-）2-+1+a2．②因为|y|≤1，a＞1，若a≥，则||≤1，所以如果它包括对称轴的x的取值，那么就是顶点上取得最大值，即当-1≤≤1时，在y=时，|PQ|取最大值；如果对称轴不在y的取值范围内的话，那么根据图象给出的单调性来求解．即当＜-1时，则当y=-1时，|PQ|取最大值2．
点评：
本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题时要认真审题，细心计算．