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设P是椭圆短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.
题目详情
设P是椭圆
短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.
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▼优质解答
答案和解析
分析:
依题意可知|PQ|=,因为Q在椭圆上,所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y-)2-+1+a2.由此分类讨论进行求解.
由已知得到P(0,1)或P(0,-1)由于对称性,不妨取P(0,1)设Q(x,y)是椭圆上的任一点,则|PQ|=,①又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y-)2-+1+a2.②因为|y|≤1,a>1,若a≥,则||≤1,所以如果它包括对称轴的x的取值,那么就是顶点上取得最大值,即当-1≤≤1时,在y=时,|PQ|取最大值;如果对称轴不在y的取值范围内的话,那么根据图象给出的单调性来求解.即当<-1时,则当y=-1时,|PQ|取最大值2.
点评:
本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要认真审题,细心计算.
分析:
依题意可知|PQ|=,因为Q在椭圆上,所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y-)2-+1+a2.由此分类讨论进行求解.
由已知得到P(0,1)或P(0,-1)由于对称性,不妨取P(0,1)设Q(x,y)是椭圆上的任一点,则|PQ|=,①又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2=(1-a2)(y-)2-+1+a2.②因为|y|≤1,a>1,若a≥,则||≤1,所以如果它包括对称轴的x的取值,那么就是顶点上取得最大值,即当-1≤≤1时,在y=时,|PQ|取最大值;如果对称轴不在y的取值范围内的话,那么根据图象给出的单调性来求解.即当<-1时,则当y=-1时,|PQ|取最大值2.
点评:
本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要认真审题,细心计算.
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