已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（-1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0<m<2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．

Question

已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F₁（-1，0），右准线方程为：x=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0<m<2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．

Answer 1

（1）设椭圆的方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a>b>0)，…（1分）
由题意得：

c=1

(a2)/(c)=4

，
解得：

a=2

c=1

，…（4分）
∴b²=3，
∴椭圆的标准方程：(x2)/(4)+(y2)/(3)=1；…（7分）
（2）设N（x，y），则MN2=(x-m)2+y2=(x-m)2+3(1-(x2)/(4))=(1)/(4)x2-2mx+m2+3，
对称轴：x=4m，-2≤x≤2…（9分）
①当0<4m≤2即0<m≤(1)/(2)，x=4m时，
MN2min=-3m2+3=1，
解得：m2=(2)/(3)>(1)/(4)，不符合题意，舍去；    …（11分）
②当4m>2，即(1)/(2)<m<2，x=2时，
MN2min=m2-4m+4=1，
解得：m=1或m=3；
∵(1)/(2)<m<2，
∴m=1； …（13分）
综上：m=1，N（2，0）；       …（14分）