设椭圆x方/a方+y方/b方=1的右焦点F,斜率为1的直线过点F交椭圆于AB两个点O为坐标原点已知椭圆上存在一点c是向量OA+向量OB=向量OC求椭圆的离心率若AB绝对值为15求椭圆方程

Question

设椭圆x方/a方+y方/b方=1的右焦点F,斜率为1的直线过点F交椭圆于AB两个点O为坐标原点已知
椭圆上存在一点c是向量OA+向量OB=向量OC
求椭圆的离心率
若AB绝对值为15求椭圆方程

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0)
直线l的方程为y=x-c 与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1联立整理得
（a^2+b^2）x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
x1+x2=2a^2c/( a^2+b^2)
向量OA+向量OB=向量OC
X0=x1+x2,y0=y1+y2=x1-c+x2-c=(x1+x2)-2c=-2b^2c/( a^2+b^2)
点C在椭圆上,将点C的坐标代入椭圆方程.
整理得到5e^4-12e^2+4=0,e^2=2/5 或e^2=2
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