直线x=1与抛物线C：y2=4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记OP=aOM+bON（a，b∈R），其中O为抛物线C的顶点．（1）当OP与ON平行时，b=；（2）给出下列命题：①∀a，b∈R，△PMN不是

Question

直线x=1与抛物线C：y²=4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记

OP

=a

OM

+b

ON

（a，b∈R），其中O为抛物线C的顶点．
（1）当

OP

与

ON

平行时，b=______；
（2）给出下列命题：
①∀a，b∈R，△PMN不是等边三角形；
②∃a＜0且b＜0，使得

OP

与

ON

垂直；
③无论点P在准线上如何运动，a+b=-1总成立．
其中，所有正确命题的序号是______．

Answer 1

由

x＝1

y2＝4x

求出点M（1，2），N（1，-2），从而

OM

＝(1，2)，

ON

＝(1，−2)，设P（-1，t），

OP

＝(−1，t)，
（1）当

OP

与

ON

平行时，t=2，因为

OP

=a

作业帮用户 2016-11-29

问题解析

根据题意画出抛物线y²=4x，和直线x=1，准线x=-1，连接OP，OM，ON，根据

OP

与

ON

平行，求出P的坐标，再求

OP

=a

OM

+b

ON

，求出a，b；对（2）的①假设△PMN是等边三角形，看能否推出矛盾；对②若

OP

与

ON

垂直，求出a，b；对③根据

OP

=a

OM

+b

ON

（a，b∈R），运用坐标求出a，b的关系式．

名师点评

本题考点：

命题的真假判断与应用．

考点点评：

本题主要考查向量与抛物线的知识，考查准线方程和向量共线、垂直的条件以及简单的坐标运算．

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