已知抛物线yy=2px(p>0)与一过其焦点F的直线交于AB两点,过点AB分别向抛物线准线做垂线,垂足为A'和B',求证角A'FB'为90度.

Question

已知抛物线yy=2px(p>0)与一过其焦点F的直线交于AB两点,过点AB分别向抛物线准线做垂线,垂足为A'和B',求证角A'FB'为90度.

Answer 1

抛物线任一点到焦点的距离等于到准线的距离(离心率等于1),
∴ AF=AA',即△AFA'是等腰三角形.
∴ ∠AA'F = ∠AFA'
三角形内角和等于180
∴ ∠A'AF + ∠AA'F + ∠AFA' = 180
从中解出 ∠AFA' = 90 - ∠A'AF/2
类似地,△BFB'是等腰三角形,∠BFB' = 90 - ∠B'BF/2
两个等式相加,得到
∠AFA' + ∠BFB' = 180 - (∠A'AF + ∠B'BF)/2
∵ AA'平行于BB' (两者同为准线的垂线)
∴ ∠A'AF + ∠B'BF = 180
代入之前的等式,得出
∠AFA' + ∠BFB' = 90
∵ ∠AFA' + ∠BFB' + ∠A'FB' = 180
∴ ∠A'FB' = 90