已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为4，两条准线间的距离为8．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在另一个椭圆C1，由椭圆C1上任意一点引椭圆C的两条切线，当两条切线的斜率均存

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为4，两条准线间的距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在另一个椭圆C₁，由椭圆C₁上任意一点引椭圆C的两条切线，当两条切线的斜率均存在时，斜率之积恒为-2？若存在，求椭圆C₁的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由

b＝2

(a2)/(c)＝4

a2＝b2+c2

，解得：

a2＝8

b2＝4

c2＝4

，
∴椭圆C的方程为：(x2)/(8)+(y2)/(4)＝1；
（2）假设存在另一个椭圆C₁，由椭圆C₁上任意一点引椭圆C的两条切线，
当两条切线的斜率均存在时，斜率之积恒为-2，
设椭圆C₁上任意一点为P（m，n），设过P点的直线斜率为k，
则有 y=k（x-m）+n，代入（1）中的椭圆方程得：
x²+2[k（x-m）+n]²=8，
整理得：（1+2k²）x²-4k（km-n）x+2（km-n）²-8=0，
∵直线与椭圆只有一个交点，
∴△=[4k（km-n）]²-4（1+2k²）[2（km-n）²-8]=0，
整理得：（16-m²）k²-2mnk+8-n²=0，
∴k₁•k₂=(8−n2)/(16−m2)=-2，
∴(m2)/(20)+(n2)/(40)＝1，
∴所求椭圆C₁的方程为：
(x2)/(20)+(y2)/(40)＝1或

作业帮用户 2017-10-06

问题解析

（1）由题意得方程组求出即可得椭圆的方程，
（2）先假设存在椭圆C₁，任取其上一点为P（m，n），设过P点的直线斜率为k，得直线方程，代入椭圆C方程得△=0，由韦达定理得k₁•k₂=(8−n2)/(16−m2)=-2，整理即可求出．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

考点点评：

本题考查了椭圆的性质，考查直线和椭圆的关系，考查定值问题，韦达定理，是一道综合题．

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