椭圆＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是．

Question

椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．

Answer 1

椭圆 ＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________．

≤e<1.

解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝ －c，|PF|≤a＋c，所以 －c≤a＋c，即a ² ≤ac＋2c ² .又e＝ ，所以2e ² ＋e≥1，所以2e ² ＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0<e<1，所以 ≤e<1.
(解法2)设点P(x，y)．由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，由椭圆第二定义， ＝e，所以|PF|＝ e－ex＝a－ex，而|FA|＝ －c，所以a－ex＝ －c，解得x＝ (a＋c－ )．由于－a≤x≤a，
所以－a≤ (a＋c－ )≤a.又e＝ ，所以2e ² ＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.
又0<e<1，所以 ≤e<1.