已知抛物线C：y2=2px，（p＞0），点(32，m)到抛物线C的准线的距离等于2．（1）求抛物线C的方程；（2）过直线l：x=-1上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），求证：直线ST过定点，

Question

已知抛物线C：y²=2px，（p＞0），点((3)/(2)，m)到抛物线C的准线的距离等于2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过直线l：x=-1上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T），求证：直线ST过定点，并求出该定点；
（3）当直线l变动时，是否也有相应的结论成立？请写出一个正确的命题来（无需证明）．

Answer 1

（1）∵点((3)/(2)，m)到抛物线C的准线的距离等于2，
∴(3)/(2)−(−(p)/(2))＝2⇒p=1．
∴抛物线C的方程为：y²=2x，
（2）设A（-1，t），过点A的切线：l_切：y-t=k（x+1），代入y²=2x，
得：ky²-2y+2t+2k=0，
由

k≠0

△＝0

得：2k²+2tk-1=0，从而k1•k2＝−(1)/(2)，且有ky2−2y+(1)/(k)＝0，即（ky-1）²=0，得y＝(1)/(k)，
因此S（(1)/(2k21)，(1)/(k1)），T((1)/(2k22)，(1)/(k2))，lST：y−(1)/(k1)＝(2k1k2)/(k1+k2)(x−(1)/(2k21))＝(−1)/(k1+k2)(x−(1)/(2k21))
即有lST：y＝(−1)/(k作业帮用户2016-12-07问题解析（1）欲求抛物线方程，需求出p值，根据抛物线上点((3)/(2)，m)到抛物线C的准线的距离等于2可解得p，问题得解．（2）先设A（-1，t），得到过点A的切线：l切：y-t=k（x+1），联立切线方程与抛物线方程得到关于k和t之间的等量关系；求出S，T的坐标，进而得到直线ST的方程，即可证明结论；（3）直接根据类比推理的思想写出一个结论即可．（答案不唯一）．名师点评本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；抛物线的标准方程．考点点评：本题考查了抛物线方程的求法，以及直线与抛物线的位置关系判断，做题时要认真分析，避免不必要的错误．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)