已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四点．（1）求抛物线E的方程；（2）

Question

已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）探究|AC|•|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）过点F作一条直线m与直线l垂直，且与抛物线交于M、N两点，求四边形AMBN面积最小值．

Answer 1

（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，
抛物线上一点P（m，4）到其准线的距离为5，
∴根据抛物线定义得4+(p)/(2)＝5，
解得p=2，
∴抛物线方程x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AC|=|AF|-|CF|=|AF|-1|BD|=|BF|-|DF|=|BF|-1，
由抛物线定义得：|AF|=y₁+1|BF|=y₂+1，
∴|AC|•|BD|=y₁y₂，
设直线AB方程：y=kx+1，
与抛物线方程联立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴|AC|•|BD|＝y1y2＝(x12)/(4)•(x22)/(4)＝1为定值．
（3）设直线AB方程：y=kx+1，
与抛物线方程联立得：x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由弦长公式|AB|＝√(1+k2)|x1−x2|＝4(1+k2)，
同理直线MN方程：y＝−(1)/(k)x+1，
与抛物线方程联立得：x2+(4)/(k)x−4＝0，
由弦长公式得|MN|＝4(1+(1)/(k2))，
所以四边形AMBN的面积S＝(1)/(2)|AB||MN|＝8(1+k2)(1+(1)/(k2))
=8(2+k2+(1)/(k2))≥32，
当k=±1时，取“=”．
故四边形AMBN面积最小值为32．